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Métodos Algébricos da Física Teórica

Esta é a página do curso de Métodos Algébricos da Fìsica Teórica da III Escola Jayme Tiomno de Física Teórica, organizado pela Dead Physicists Society.

Apresentação

Este curso é uma introdução ao uso de grupos, representações e tensores em Física Teórica, com particular ênfase em casos de interesse para a Relatividade, Mecânica Quântica e Física de Partículas. Nota-se que o objetivo é oferecer um curso de métodos matemáticos para Física Teórica, não um curso de Física-Matemática, e portanto será dada mais atenção aos exemplos físicos do que a um tratamento geral da Teoria de Grupos (que já é feito pela disciplina 4300429 — Grupos e Tensores do IFUSP). Além disso, apesar da teoria de grupos ser um assunto belíssimo em Matemática, não pretendo me atentar a demonstrações rigorosas, mas sim a aplicações diversas em Física.

Ementa

Esta é a ementa planejada e detalhada que eu espero passar ao longo do curso.

  • Grupos
    1. Simetrias
    2. Rotações
    3. O Grupo de Galilei
    4. Relatividade Restrita
  • Grupos e Álgebras de Lie
    1. Noção de Grupo Contínuo
    2. Álgebras de Lie
    3. Grupo de Heisenberg
    4. Grupo Especial Unitário em Duas Dimen
  • Representações
    1. Noções de Mecânica Quântica
    2. Spin Eletrônico
    3. Construções Básicas com Represent
    4. Produtos Tensoriais e Tensores
    5. Representações Projetivas e Spinores
    6. Lema de Schur
  • Aplicações Físicas
    1. O Caminho Óctuplo da Física de Partículas
    2. Teorias de Grande Unificação
    3. Efeitos Hawking e Unruh
    4. Partículas e o Grupo de Poincaré

Requisitos

Como dito no website da Escola, os requisitos que assumirei são Fisica I, Cálculo Diferencial e Integral I e Vetores e Geometria Analítica. As outras definições e conceitos que forem necessários serão cobertos no curso (incluindo, mas não limitado a, noções elementares de Relatividade Restrita e Mecânica Quântica).

Bibliografia

No momento (02/08/21), esta é a bibliografia completa do curso. Seguiremos principalmente notas de aula (disponíveis neste link), mas estas são as referências utilizadas durante sua preparação. Ou seja, são os livros que eu li, não necessariamente os que vocês lerão. Há também alguns livros que servem ao propósito de sugestões de leitura mais aprofundada.

Desta lista, as referências que me parecem mais interessantes para o escopo específico do curso (ou seja, teoria de grupos e representações para físicos) são (Barata 2021, Georgi 2018, Germano 2016, Hall 2003, Hamermesh 1989, Sundermeyer 2014, Weinberg 1995, Zee 2016). (Hall 2003) é para matemáticos, mas estudantes com interesse em uma abordagem um pouco mais rigorosa podem se interessar por ele, especialmente se não possuírem os requisitos de Geometria Diferencial necessários para abordagens mais gerais sobre grupos de Lie. (Zee 2016) é meu texto favorito e provavelmente a principal referência do curso.

  • Abe, K. et al. (2017) Search for proton decay via p → e+ π0 and p → μ+ π0 in 0.31 megaton·years exposure of the Super-Kamiokande water Cherenkov detector. Physical Review D 95, 012004. doi: 10.1103/PhysRevD.95.012004.
  • Alves, N. A. (2020a) Differential Geometry (notas para estudo pessoal).
  • Alves, N. A. (2020b) Mecânica Clássica (notas de aula).
  • Alves, N. A. (2020c) O Grupo de Lorentz: Relatividade Restrita aos olhos de um matemático (notas de aula).
  • Arnold, V. I. (1989) Mathematical Methods of Classical Mechanics (Springer, New York).
  • Ashtekar, A. & Magnon, A. (1975) Quantum Fields in Curved Space-Times. Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical and Physical Sciences 346, 375–394. doi: 10.1098/rspa.1975.0181.
  • Barata, J. C. A. (2021) Notas para um curso de Física-Matemática.
  • Barnes, V. E. et al. (1964) Observation of a Hyperon with Strangeness Minus Three. Physical Review Letters 12, 204–206. doi: 10.1103/PhysRevLett.12.204.
  • Bertuzzo, E. (2021) Lectures on Particle Physics.
  • Carroll, S. (2014) Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity (Pearson, Harlow).
  • Coelho, F. U. & Lourenço, M. L. (2013) Um Curso de Álgebra Linear (Editora da Universidade de São Paulo, São Paulo).
  • Cozzella, G., Landulfo, A. G. S., Matsas, G. E. A. & Vanzella, D. A. T. (2017) Proposal for Observing the Unruh Effect Using Classical Electrodynamics. Physical Review Letters 118, 161102. doi: 10.1103/PhysRevLett.118.161102. arXiv: 1701.03446 [gr-qc].
  • Dirac, P. A. M. (1967) The Principles of Quantum Mechanics (Oxford University Press, Oxford).
  • Gell-Mann, M. (1964) A Schematic Model of Baryons and Mesons. Physics Letters 8, 214–215. doi: 10.1016/S0031-9163(64)92001-3.
  • Georgi, H. (2018) Lie Algebras in Particle Physics (CRC Press, Boca Raton).
  • Georgi, H. & Glashow, S. L. (1974) Unity of All Elementary-Particle Forces. Physical Review Letters 32, 438–441. doi: 10.1103/PhysRevLett.32.438.
  • Germano, G. R. (2016) Representações Irredutíveis Unitárias Do Grupo de Poincaré, dissertação de mestrado (Universidade de São Paulo, São Paulo). doi: 10.11606/D.43.2016.tde-08122016-160042.
  • Geroch, R. (1985) Mathematical Physics (University of Chicago Press, Chicago).
  • Griffiths, D. J. (2017) Introduction to Electrodynamics (Cambridge University Press, Cambridge).
  • Hall, B. C. (2003) Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction (Springer, Cham).
  • Hall, B. C. (2013) Quantum Theory for Mathematicians (Springer, New York).
  • Halzen, F. & Martin, A. D. (1984) Quarks and Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics (Wiley, New York).
  • Hamermesh, M. (1989) Group Theory and Its Application to Physical Problems (Dover Publications, New York).
  • Hawking, S. W. (1974) Black Hole Explosions? Nature 248, 30–31. doi: 10.1038/248030a0.
  • Hawking, S. W. (1975) Particle Creation by Black Holes. Communications In Mathematical Physics 43, 199–220. doi: 10.1007/BF02345020.
  • Hawking, S. W. & Ellis, G. F. R. (1973) The Large Scale Structure of Spacetime (Cambridge University Press, Cambridge)
  • Hoffman, K. & Kunze, R. (1971) Linear Algebra (Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs).
  • José, J. V. & Saletan, E. J. (1998) Classical Dynamics: A Contemporary Approach (Cambridge University Press, Cambridge).
  • Kupść, A. (2007) What Is Interesting in η and η' Meson Decays? em AIP Conference Proceedings 950, 165–179. doi: 10.1063/1.2819029. arXiv: 0709.0603 [nucl-ex].
  • Landau, L. D. & Lifshitz, E. M. (1976) Mechanics (Butterworth-Heinemann, Oxford).
  • Langacker, P. (2017) The Standard Model and Beyond (Taylor & Francis, Boca Raton).
  • Le Bellac, M. (2006) Quantum Physics (Cambridge University Press, Cambridge).
  • Lemos, N. (2018) Analytical Mechanics (Cambridge University Press, Cambridge).
  • Lévy-Leblond, J.-M. (1971) em Group Theory and its Applications Vol. II (ed. Loebl, E.) 221–299 (Academic Press, New York).
  • Matsas, G. E. A. & Vanzella, D. A. T. (2002) The Fulling–Davies–Unruh Effects Is Mandatory: The Proton’s Testimony. International Journal of Modern Physics D 11, 1573–1577. doi: 10.1142/S0218271802002918. arXiv: gr-qc/0205078.
  • Misner, C. W., Thorne, K. S. & Wheeler, J. A. (1973) Gravitation (Freeman, San Francisco).
  • Moretti, V. (29 de novembro de 2016) Why are particles thought of as irreducible representations, in plain English? Physics Stack Exchange.
  • Particle Data Group et al. (2020) Review of Particle Physics. Progress of Theoretical and Experimental Physics 2020. 083C01. doi: 10.1093/ptep/ptaa104
  • Peskin, M. E. & Schroeder, D. V. (1995) An Introduction to Quantum Field Theory (Westview Press, Boulder).
  • Sakurai, J. J. & Napolitano, J. (2017) Modern Quantum Mechanics (Cambridge University Press, Cambridge).
  • Schwartz, M. D. (2014) Quantum Field Theory and the Standard Model (Cambridge University Press, Cambridge).
  • Shankar, R. (1994) Principles of Quantum Mechanics (Springer, New York).
  • Sundermeyer, K. (2014) Symmetries in Fundamental Physics (Springer, Cham).
  • Vanzella, D. A. T. & Matsas, G. E. A. (2001) Decay of Accelerated Protons and the Existence of the Fulling-Davies-Unruh Effect. Physical Review Letters 87, 151301. doi: 10.1103/PhysRevLett.87.151301. arXiv: gr-qc/0104030.
  • Wald, R. M. (1975) On Particle Creation by Black Holes. Communications in Mathematical Physics 45, 9–34. doi: 10.1007/BF01609863.
  • Wald, R. M. (1984) General Relativity (University of Chicago Press, Chicago).
  • Wald, R. M. (1994) Quantum Field Theory in Curved Spacetime and Black Hole Thermodynamics (University of Chicago Press, Chicago).
  • Weinberg, S. (1995) The Quantum Theory of Fields Vol. I: Foundations (Cambridge University Press, Cambridge).
  • Weinberg, S. (1996) The Quantum Theory of Fields Vol. II: Modern Applications (Cambridge University Press, Cambridge).
  • Weinberg, S. (2015) Lecures on Quantum Mechanics (Cambridge University Press, Cambridge).
  • Weinberg, S. (2021) Foundations of Modern Physics (Cambridge University Press, Cambridge).
  • Zee, A. (2014) Quantum Field Theory in a Nutshell (Princeton University Press, Princeton).
  • Zee, A. (2016) Group Theory in a Nutshell for Physicists (Princeton University Press, Princeton).

Exercícios

  • ''Um dos grandes mestres Zen tinha um discípulo impaciente que nunca havia perdido uma oportunidade de obter quaisquer pérolas de sabedoria que poderiam escapar dos lábios de seu mestre e que o seguia constantemente. Um dia, respeitosamente abrindo um portão de homem para o velho senhor, o discípulo perguntou: 'Como posso obter a iluminação?'. O sábio ancião, apesar de atrofiado e frágil, podia ser veloz, e rapidamente fez com que o pesado portão se fechasse na perna do discípulo, a quebrando.
    Quando o leitor tiver entendido esta pequena história, então ele entenderá o propósito deste livro. Pareceria ao não-iluminado como se o mestre, longe de ensinar seu discípulo, havia o deixado mais chocado que nunca devido ao seu truque cruel. Ao iluminado, a anedota expressa uma verdade profunda. É impossível dizer ao leitor o que esta verdade é; só se pode o encaminhar à anedota.''
  • Carl E. Linderholm, em Mathematics Made Difficult (Buttler & Tanner, Frome, 1971).

  • ''Sendo eu mesmo um sujeito particularmente estúpido, tive que me desensinar as dificuldades, e agora peço para apresentar aos meus colegas tolos as partes que não são difíceis. Domine-as bem e o resto seguirá. O que um tolo pode aprender, outro também pode.''
  • Silvanus P. Thompson, em Calculus Made Easy: Being a very-simplest introduction to those beautiful methods of reckoning which are generally called by the terrifying names of the Differential Calculus and the Integral Calculus (Macmillan, London, 1914).

Fiz o possível para rechear as notas de aula com exercícios e acredito que aqui valem algumas citações sobre a importância de os fazer. Citando Linderholm novamente, ‘‘O leitor não é obrigado a fazer nenhum dos exercícios, a não ser que não consiga fazê-lo.’’ Na minha experiência, aprender Física é um caminho um tanto doloroso e envolve certas quantidades de decepção, confusão e frustração. Ao não-iluminado, isso pode parecer pura crueldade. Por sorte, frequentemente me vi na companhia de outros colegas tolos com os quais pude dividir as dores necessárias para atingir a iluminação, e espero que o mesmo possa ocorrer neste curso. Enviei aos inscritos por e-mail o link para um canal no Slack voltado ao propósito de todos os estudantes poderem discutir entre si e comigo acerca dos problemas, dúvidas em geral e mesmo curiosidades e assuntos mais aprofundados (caso você não tenha recebido o link antes do começo das aulas, me envie um e-mail). Ao escrever os exercícios, eu esperava (e incentivo) que colaborem entre si durante sua resolução.

Eu realmente acredito que a melhor forma de conferir exercícios é discutindo com outras pessoas, e por isso digo que o verdadeiro solucionário são os amigos que fizemos ao longo do caminho. Se você discorda profundamente de mim sobre isso e quer mesmo ver um solucionário dos problemas, acesse este link.

Sessões de Discussão e Dúvidas

Como nossa aula ocupa o último horário da escola, temos alguma liberdade para passar do horário na sala do Zoom. Pretendo encerrar as aulas dentro do horário planejado, mas também permanecer na sala algum tempo depois para podermos conversar sobre dúvidas, sobre os exercícios, curiosidades e aprofundamento, etc.

É extremamente importante que vocês façam perguntas e tirem suas dúvidas, pois os conteúdos se acumulam de forma exponencial. Para entender os assuntos finais (que eu considero particularmente divertidos), é importante compreender os assuntos iniciais. Não tenha medo de fazer perguntas. Caso você tenha uma pergunta e não saiba se a deve fazer, perceba que ela definitivamente se encaixa em uma das duas categorias a seguir:

  1. Você considera sua pergunta boba
  2. Se sua pergunta for ''boba'', ela é rápida de responder e não vai atrapalhar a aula. Se não for rápida de responder, não tem como ser boba, e na pior das hipóteses eu vou pedir que você me pergunte mais tarde na sessão de discussão ou pelo Slack. Perceba também que a vários dos livros da bibliografia tem ''Quantum Field Theory'' no título. Por conta disso, eu considero extremamente improvável que ocorra alguma pergunta que de fato possa ser chamada de boba. Eu tô fazendo um curso sabidamente pesado e se nenhum de vocês tiver dúvidas sobre isso eu vou ficar extremamente preocupado (e vou saber que vocês tão mentindo).

  3. Você não considera sua pergunta boba
  4. Se a sua pergunta não é boba, ela provavelmente é interessante. Pode acabar dando uma ideia de assunto pra abordar que não tinha me ocorrido e render discussões extremamente divertidas. Novamente, na pior das hipóteses eu vou pedir pra você guardar a ideia pra sessão de discussão ou pro Slack·

As perguntas são a parte mais divertida de qualquer curso. Nas minhas experiências passadas dando minicursos e coisas do tipo, é sempre nelas que os alunos percebem alguma ponta solta (que você deixou assim como isca ou só porque achava o assunto complicado mesmo ausaush) e fazem você aprender. Ou às vezes fazem um comentário que talvez parecesse inocente, mas na verdade se ligava a assuntos extremamente profundos e interessantes. Além disso, elas me permitem saber se eu estou pegando muito leve, muito pesado e a adaptar o curso ao público.

Eu imagino também que muitos de vocês estão fazendo esse curso porque pretendem um dia trabalhar com pesquisa. Por isso eu acho que vale a pena lembrar que trabalhar com pesquisa envolve responder perguntas, e não tem como responder perguntas se ninguém faz perguntas. Ganhar prática com formular perguntas é algo extremamente valioso.

Aulas

Nossas aulas serão síncronas, porém gravadas e disponibilizadas tão logo quanto possível no canal no YouTube da Dead Physicists Society. Note que a presença nas aulas síncronas é o único critério de avaliação do curso.

Se for possível, recomendo a leitura do capítulo N das notas de aula antes da aula N, mas sei que a maioria das pessoas não vai fazer isso. Como alguns de vocês me pediram sugestões de leitura para antes das aulas, menciono também que o review de Álgebra Linear de (Zee 2016) pode ser útil, mas vou assumir ao longo do curso que vocês não o leram.

Notas de Aula e Material Adicional

Disponíveis neste link. Veja também este link para um exemplo de cálculo com tensores (a saber, o campo eletromagnético de uma partícula em movimento).

Agradecimentos

Aproveito também este espaço para transmitir alguns agradecimentos. Ao meu amigo Pedro Henrique Tredezini por sua ajuda revisando e opinando acerca das notas de aula. Ao meu orientador de mestrado, Prof. André Landulfo, por ter me ajudado a compreender as construções de Teoria Quântica de Campos em Espaços-Tempos Curvos que eu abordei na última aula, em especial as discussões sobre efeito Unruh. Ainda aos professores João Barata, Enrico Bertuzzo e Gustavo Burdman, do DFMA-IFUSP, com quem eu aprendi uma boa parte deste material. Ao organizadores da III Escola Jayme Tiomno de Física Teórica, Patrick Dreger e ao Théo Meireles, por depositarem sua confiança em mim. Sem estas pessoas, este minicurso não teria sido possível. Naturalmente, todo e qualquer erro que eu tenha cometido ao longo das aulas ou das nota é de minha inteira responsabilidade.